HZ904 A-5 - しまうま技研

直流に対しては、コイルはただの導線だし、コンデンサは絶縁体に過ぎない。　しかし時間と共に変化する交流の場合は、両方とも抵抗のように振舞う。　ふっしぎ〜。
コイルの場合、電流の増減に応じてその変化を打ち消すように逆起電力が生じる。　これが誘導（性）リアクタンスと呼ばれる、交流に対するコイルの抵抗分になる。　コンデンサの抵抗分は、容量（性）リアクタンスと呼ばれてる。
純粋な抵抗とリアクタンスをひっくるめたもの、それがインピーダンスだ。（少々乱暴な物言いだが）
Wikipediaでは、もっとスマートに解説されている。

電気回路におけるインピーダンス
 インピーダンスは、交流回路における電圧と電流の比である。

インピーダンス - Wikipedia

回路にリアクタンス分があると電圧と電流は（一般的に）同相ではなくなるため、インピーダンスの計算は少々厄介になる。　ベクトルを使えば手っ取り早く表現できるのだが、複素数を導入するとインピーダンスをまるで抵抗のように扱うことができるため、計算がさらに楽になる。
ちなみに電子工学の世界では、虚数単位には $i$ でなく $j$ を使う。　 $i$ は電流を表す記号として定着していたため、 $i$ の次の文字で字面も似ている $j$ が選ばれたのだろう。　この $j$ を定数より前に記すところも、数学とは違うところだ。
さて、問題です。

この問題は、インピーダンスの概念とコイルの誘導（性）リアクタンスについて知っていなければ解けない。
解法のステップは以下の通り。

回路全体のインピーダンスを求める
回路全体に流れる電流（交流電源から流れる電流、即ち抵抗 $R_1$ に流れる電流）を求める
その電流によって生じる、抵抗 $R_1$ の両端の電圧降下を求める
電源電圧から抵抗 $R_1$ 両端の電圧降下を減じたもの、それが抵抗 $R_2$ の両端に掛かる電圧である
抵抗 $R_2$ 両端の電圧とその抵抗値から、オームの法則を使って電流 $\dot{I}$ を求めることができる

まず、回路全体のインピーダンス $\dot{Z}$ を求めよう。
$L$ が普通の抵抗ならば、
$\dot{Z}=R_1+\frac{1}{\frac{1}{L}+\frac{1}{R_2}}$
で計算できるのだが、コイルの誘導（性）リアクタンスは $jX_L$ なので、
$\dot{Z}=R_1+\frac{1}{\frac{1}{jX_L}+\frac{1}{R_2}}$
となる。
ところで、題意より $R_1=20$ [Ω], $R_2=20$ [Ω], $X_L=20$ [Ω]であるから、これらを代入して式を整理する。
$\begin{eqnarray}\dot{Z}=20+\frac{1}{\frac{1}{j20}+\frac{1}{20}}\\=20+\frac{1}{\frac{1+j}{j20}}\\=20+\frac{j20}{1+j}\\=20+\frac{j20(1-j)}{(1+j)(1-j)}\\=20+\frac{j20-j^{2}20}{1^2-j^2}\\=20+\frac{j20+20}{1+1}\\=20+\frac{j20+20}{2}\\=20+j10+10\\=30+j10\end{eqnarray}$
これでステップ1完了。　 $j^2=-1$ であることに注意。
ステップ2では、抵抗 $R_1$ に流れる電流を求める。　これを $\dot{I_0}$ とし、電源電圧を $\dot{E}$ とすると、
$\begin{eqnarray}\dot{I_0}=\frac{\dot{E}}{\dot{Z}}\\=\frac{200}{30+j10}\\=\frac{200}{10(3+j)}\\=\frac{20}{3+j}\\=\frac{20(3-j)}{(3+j)(3-j)}\\=\frac{20(3-j)}{3^2-j^2}\\=\frac{20(3-j)}{9+1}\\=\frac{20(3-j)}{10}\\=2(3-j)\\=6-j2\end{eqnarray}$
次のステップ3からステップ5までは、面倒だから一気にやってしまおう。
$\begin{eqnarray}\dot{I}=\frac{200-20(6-j2)}{20}\\=10-(6-j2)\\=10-6+j2\\=4+j2\end{eqnarray}$
よって、答えは選択肢1の $4+j2$ [A]となる。　今日はここまで。